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# Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction

Brian C. Hall

Contents
Part I General Theory
1 Matrix Lie Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Definition of a Matrix Lie Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Examples of Matrix Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 The general linear groups GL(n;R) and GL(n;C) . . . . . . 4
1.2.2 The special linear groups SL(n;R) and SL(n;C) . . . . . . . 5
1.2.3 The orthogonal and special orthogonal groups, O(n)
and SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 The unitary and special unitary groups, U(n) and SU(n) 6
1.2.5 The complex orthogonal groups, O(n;C) and SO(n;C) . 6
1.2.6 The generalized orthogonal and Lorentz groups . . . . . . . 7
1.2.7 The symplectic groups Sp(n;R), Sp(n;C), and Sp(n) . . . 7
1.2.8 The Heisenberg group H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.9 The groups R*, C*, S1, R, and Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.10 The Euclidean and PoincarÃ¯e groups E(n) and P(n;1). . . 9
1.3 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Examples of compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Examples of noncompact groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Simple Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Homomorphisms and Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Example: SU(2) and SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 The Polar Decomposition for SL(n;R) and SL(n;C) . . . . . . . . . 19
1.8 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Lie Algebras and the Exponential Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 The Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Computing the Exponential of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
X Contents
2.2.1 Case 1: X is diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Case 2: X is nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Case 3: X arbitrary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 The Matrix Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Further Properties of the Matrix Exponential . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 The Lie Algebra of a Matrix Lie Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Physicists' Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2 The general linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.3 The special linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.4 The unitary groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.5 The orthogonal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.6 The generalized orthogonal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.7 The symplectic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.8 The Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.9 The Euclidean and PoincarÃ¯e groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Properties of the Lie Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 The Exponential Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.1 Structure constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.2 Direct sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 The Complexification of a Real Lie Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 The Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 The Baker-Campbell-Hausdorff Formula for the Heisenberg
Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 The General Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . 67
3.3 The Derivative of the Exponential Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Proof of the Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . 73
3.5 The Series Form of the Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . 74
3.6 Group Versus Lie Algebra Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Covering Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8 Subgroups and Subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Basic Representation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Why Study Representations? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Examples of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 The standard representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.2 The trivial representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.3 The adjoint representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.4 Some representations of SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.5 Two unitary representations of SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.6 A unitary representation of the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Contents XI
4.3.7 The unitary representations of the Heisenberg group . . . 100
4.4 The Irreducible Representations of su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Direct Sums of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6 Tensor Products of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.7 Dual Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8 Schur's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9 Group Versus Lie Algebra Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.10 Complete Reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Part II Semisimple Theory
5 The Representations of SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 Weights and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 The Theorem of the Highest Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 Proof of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5 An Example: Highest Weight (1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.6 The Weyl Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7 Weight Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1 Complete Reducibility and Semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . 156
6.2 Examples of Reductive and Semisimple Lie Algebras . . . . . . . . . 161
6.3 Cartan Subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Roots and Root Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.5 Inner Products of Roots and Co-roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.6 The Weyl Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.7 Root Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.8 Positive Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.9 The sl(n;C) Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9.1 The Cartan subalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9.2 The roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9.3 Inner products of roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.9.4 The Weyl group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.9.5 Positive roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.10 Uniqueness Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7 Representations of Complex Semisimple Lie Algebras . . . . . . 191
7.1 Integral and Dominant Integral Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2 The Theorem of the Highest Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.3 Constructing the Representations I: Verma Modules . . . . . . . . . 200
XII Contents
7.3.1 Verma modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2 Irreducible quotient modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.3 Finite-dimensional quotient modules . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.4 The sl(2;C) case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.4 Constructing the Representations II: The Peter-Weyl Theorem 209
7.4.1 The Peter-Weyl theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.2 The Weyl character formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4.3 Constructing the representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.4 Analytically integral versus algebraically integral
elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.4.5 The SU(2) case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5 Constructing the Representations III: The Borel-Weil
Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.1 The complex-group approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.2 The setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.5.3 The strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.5.4 The construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.5.5 The SL(2;C) case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.6 Further Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.6.1 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.6.2 The weights and their multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.6.3 The Weyl character formula and the Weyl dimension
formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.6.4 The analytical proof of the Weyl character formula . . . . 236
7.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8 More on Roots and Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1 Abstract Root Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3 Bases and Weyl Chambers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.4 Integral and Dominant Integral Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.5 Examples in Rank Two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.5.1 The root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.5.2 Connection with Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.3 The Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.5.5 Positive roots and dominant integral elements . . . . . . . . . 258
8.5.6 Weight diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.6 Examples in Rank Three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.7 Additional Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.8 The Root Systems of the Classical Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . 265
8.8.1 The orthogonal algebras so(2n;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.8.2 The orthogonal algebras so(2n + 1;C) . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.8.3 The symplectic algebras sp(n;C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.9 Dynkin Diagrams and the Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Contents XIII
8.10 The Root Lattice and the Weight Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
A A Quick Introduction to Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A.1 Definition of a Group and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A.2 Examples of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.2.1 The trivial group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
A.2.2 The integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
A.2.3 The reals and Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
A.2.4 Nonzero real numbers under multiplication . . . . . . . . . . . 282
A.2.5 Nonzero complex numbers under multiplication . . . . . . . 282
A.2.6 Complex numbers of absolute value 1 under
multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.2.7 The general linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.2.8 Permutation group (symmetric group) . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.2.9 Integers mod n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
A.3 Subgroups, the Center, and Direct Products . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.4 Homomorphisms and Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
A.5 Quotient Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
B Linear Algebra Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
B.1 Eigenvectors, Eigenvalues, and the Characteristic Polynomial . 291
B.2 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
B.3 Generalized Eigenvectors and the SN Decomposition . . . . . . . . . 294
B.4 The Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
B.5 The Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
B.6 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
B.7 Dual Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
B.8 Simultaneous Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
C More on Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
C.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
C.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
C.1.2 Tangent space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
C.1.3 Differentials of smooth mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
C.1.4 Vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
C.1.5 The flow along a vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
C.1.6 Submanifolds of vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
C.1.7 Complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
C.2 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
C.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
C.2.2 The Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
C.2.3 The exponential mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
C.2.4 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
XIV Contents
C.2.5 Quotient groups and covering groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
C.2.6 Matrix Lie groups as Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
C.2.7 Complex Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
C.3 Examples of Nonmatrix Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
C.4 Differential Forms and Haar Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
D Clebsch-Gordan Theory for SU(2) and the Wigner-Eckart
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
D.1 Tensor Products of sl(2;C) Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
D.2 The Wigner-Eckart Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
D.3 More on Vector Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
E Computing Fundamental Groups of Matrix Lie Groups . . . . 331
E.1 The Fundamental Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
E.2 The Universal Cover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
E.3 Fundamental Groups of Compact Lie Groups I . . . . . . . . . . . . . . 333
E.4 Fundamental Groups of Compact Lie Groups II . . . . . . . . . . . . . 336
E.5 Fundamental Groups of Noncompact Lie Groups . . . . . . . . . . . . 342
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347